Математические методы в геологии

Специфика геологических объектов и необходимость математизации геологии. Структурный подход к описанию геологических объектов. Масштабные эффекты и неоднородность свойств геологических тел. Выбор информативных признаков и проблема уникальности объектов. Проблема скрытости объектов и выборочных наблюдений. Типы геологической информации: словесная, графическая, числовая. Типы шкал измерения признаков (номинальная, порядковая, интервальная, относительная). Моделирование как метод познания в геологии: предметные, геометрические, динамические, функциональные, знаковые и математические модели. Классификация математических моделей в геологии. Этапы построения математической модели.

Понятие и задачи математической статистики. Требования к статистическим данным. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Функции распределения: интегральная и плотность вероятности. Основные характеристики распределений. Теоретические законы распределения. Преобразования случайных величин. Проверка согласия эмпирического и теоретического распределений. Статистические оценки. Проверка статистических гипотез.

Проверка гипотез об однородности объекта. Выявление аномалий и «ураганов» в выборках. Использование персентиль-функции для выделения выдающихся значений. Пространственная неоднородность данных и концепция доменов. Выделение популяций в распределении признаков (на примере объемной массы). Методы статистического анализа: критерий Смирнова, критерий Фергюсона. Влияние объема выборки на устойчивость средних значений. Расчет доверительных интервалов и необходимого числа наблюдений. Применение биномиального и распределения Пуассона в геологических задачах. Ошибки при определении содержания золота из-за малой навески и крупности зерен. Анализ и выбор рациональной массы пробы при опробовании алмазов.

Понятие двумерной статистической модели. Корреляционное поле точек и визуализация взаимосвязей. Типы геологических задач, решаемых с использованием двумерного анализа. Основные характеристики двумерного распределения. Интерпретация коэффициента корреляции и проверка его значимости. Ранговый коэффициент корреляции и его применение. Линейные и нелинейные зависимости, корреляционное отношение. Примеры геологических интерпретаций по линиям регрессии. Использование регрессионного анализа для прогноза свойств по сопряжённым признакам. Преобразования данных для улучшения модели. Оценка качества модели и доверительные интервалы.

Понятие многомерной случайной величины и матрицы признаков. Ковариационная и корреляционная матрицы. Визуализация связей между признаками. Типовые задачи многомерного анализа в геологии. Регрессионный анализ. Метод главных компонентов (PCA). Факторный анализ. Дискриминантный анализ. Нелинейный дискриминантный анализ.

Понятие пространственных переменных в геологии. Цели и задачи моделирования пространственных признаков. Типы признаков: непрерывные и дискретные. Классификация моделей пространственных переменных: детерминированные модели, вероятностные модели. Методы интерполяции в детерминированных моделях: метод ближайшего соседа, линейная интерполяция, полиномиальные функции, сплайн-модели, метод обратных расстояний. Горно-геометрические модели и условия их применимости. Модели тренда и разделение на закономерную и случайную составляющие. Сглаживание с помощью статистического окна. Методы проверки наличия тренда: метод смены знака, метод скачков по медиане. Построение карт распределения признаков и изолиний. Применение моделей к геохимическим и геофизическим данным. Моделирование дискретных пространственных переменных. Применение карт остатков для выявления локальных аномалий. Практическое значение моделирования: прогноз, анализ источников сноса, выделение зон аномалий.

Понятие случайной функции в геологии: определение, примеры геологических данных как случайных функций (гамма-каротаж, осадки и др.). Основные характеристики случайных функций. Интерпретация и взаимосвязь характеристик: связь между структурной и корреляционной функциями, радиус (предел) корреляции, особенности поведения функций при разных расстояниях между точками. Стационарность и эргодичность случайных функций. Анизотропия геологических свойств. Двумерные автокорреляционные функции. Периодичность и гармонический анализ. Практическое применение модели случайных функций в геологии.

Определение и задачи геостатистики. История развития геостатистики. Основные понятия геостатистики: вариограмма и её характеристики, условия стационарности. Типы вариограмм и их модели. Блочное моделирование: принципы построения блочной модели, влияние размера ячеек и поискового эллипсоида, интерполяция.

Понятие фрактальной геометрии и её свойства. Применение фракталов в геологии. Методика определения фрактальной размерности. Связь фрактальной размерности с морфологическим типом рудных тел. Фракталы и ошибка геометризации. Оценка потерь и разубоживания с учётом сложности контуров. Применение фрактальной геометрии к геохимическим аномалиям. Закон Ципфа в геолразведке. Зависимость между содержанием, запасами и бортовыми кондициями. Фрактальный анализ алмазоносных объектов. Обобщение и дополнительные примеры.